人生の役に立たない数学

ニコニコフィーチャー Part44 nine

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kz(livetune) × 八王子P feat. 初音ミク「Weekender Girl」Music Video Version

【gypsy】　蜜の夜明け　Remix　【カットアップ】

a+b=b+a

数学

$a+b=b+a$ を証明します。

定義

$a+0=a\\ a+(b+1)=(a+b)+1$

補題1

$(a+b)+c=a+(b+c)$

証明

$c=0$ の時、

$(a+b)+0=a+(b+0)=a+b$

$c=k$ の時、 $(a+b)+k=a+(b+k)$ が成り立つとすると、

$\begin{eqnarray}(a+b)+(k+1)&=&( (a+b)+k)+1\\ &=&(a+(b+k))+1\\ &=&a+( (b+k)+1)\\ &=&a+(b+(k+1))\end{eqnarray}$

よって、 $(a+b)+c=a+(b+c)$

補題2

$a+0=0+a$

証明

$a=0$ の時、

$0+0=0+0=0$

$a=k$ の時、 $k+0=0+k$ が成り立つとすると、

$\begin{eqnarray}(k+1)+0&=&k+1\\ &=&(k+0)+1\\ &=&(0+k)+1\\ &=&0+(k+1)\end{eqnarray}$

よって、 $a+0=0+a$

補題3

$a+1=1+a$

証明

$a=0$ の時、補題2より成り立つ。
$a=k$ の時、 $k+1=1+k$ が成り立つとすると、

$\begin{eqnarray}(k+1)+1&=&(1+k)+1\\ &=&1+(k+1)\end{eqnarray}$

よって、 $a+1=1+a$

定理

$a+b=b+a$

証明

$b=0$ の時、

$a+0=0+a$

$b=k$ の時、 $a+k=k+a$ が成り立つとすると、

$\begin{eqnarray}a+(k+1)&=&(a+k)+1\\ &=&(k+a)+1\\ &=&k+(a+1)\\ &=&k+(1+a)\\ &=&(k+1)+a\end{eqnarray}$

よって、 $a+b=b+a$

近傍の種類

数学

位相空間とはなんでしょうか？
1つの解釈は、近傍の形を決めた空間といえます。
近傍とは、私たちがよく知っている円があります。
しかし、次も近傍です。
f:id:mikuwaorenoyome:20160607073451p:plain
これはノイマン近傍と呼ばれていて、次で定義されます。
$|x|+|y|=1$
次は、ムーア近傍と呼ばれているものです。

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(|x|^n+|y|^n)=1$
全体集合も近傍になります。 $\{0\}$ も近傍です。
本当は、位相空間はもっと広い意味で使われるのですが、私たちがよく知っているものは、これらが定義されています。

一般に、異なる近傍を決めると、異なる位相になりますが、円とノイマン近傍とムーア近傍は同じ位相空間になります。

Emacsのデフォルトメジャーモードをlisp-interaction-modeにする方法(version 24.5.1)

プログラミング

Emacs-Lispを使っている人にとって、*scratch*バッファのlisp-interaction-modeは重要ですよね。（C-jでS式を評価できたりします）

デフォルトメジャーモードをlisp-interaction-modeにするのは簡単で、init.elに次の一文を加えるだけです。

場所：gnupack_basic-13.06-2015.11.08\home\.emacs.d\init.el

加える文：(setq default-major-mode 'lisp-interaction-mode)

これであなたもELISPERだ！

ある文字列の写像の不動点定理

数学

QとRからなる文字列を考えます。

文字列xとyの結合をxyと書いて、ヌル文字を0とします。

以下の写像を考えます。

$f(Qx)=x\\f(Rx)=xx\\f(0)=0$

また、xとf(x)を並べて、 $x \rightarrow f(x)$ と書きます。

例えば、

$QR\rightarrow R\rightarrow 0$

$RQ\rightarrow QQ\rightarrow Q\rightarrow 0$

この時、次の不動点定理が成り立ちます。

$\forall x(RxR \rightarrow xRxR)$

例えば、x=Qの時、

$RQR\rightarrow QRQR$

x=0の時、

$RR\rightarrow RR$

あらゆる言葉が載った辞書

数学

あらゆる言葉が載った辞書を考えます。

一番最初に載っている言葉は何でしょうか？

正解は「あ」です。

次は「ああ」ですね。その次が「あああ」。

何ページかめくると、「あああああ・・・」となってますね。

それを超えると、今度は「あい」になります。

次が「あいあ」。その次が「あいああ」。

以下、「あいあああああ・・・」となってますね。

さらに超えると、次は「い」になります。

以下、「いあ」、「いああ」、「いあああ・・・」、「いあい」、「いあいあ」、「いあいああ」、「いあいあああ・・・」となります。

では、辞書を分けて、「あ」から始まる辞書を「あ巻」とし、最初の「あ」を省略します。

一番最初に載っている言葉は何でしょうか？

元の辞書の「あ」は消えるので、次の「ああ」の「あ」を省略して、「あ」になります。

次は、「あああ」を省略して、「ああ」になります。

以下、「あああ」、「ああああ」、「あああああ・・・」になります。

それを超えたら、次の「あい」を省略して、「い」になります。

以下、「いあ」、「いああ」、「いあああ・・・」となります。

つまり、「あ巻」は、「あ」、「ああ」、「あああ・・・」、「い」、「いあ」、「いああ」、「いあああ・・・」となっています。

ということは、元の辞書とあ巻は同じものになります。

辞書を分けたはずなのに、同じになるのは不思議ですね。