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in the blue shirt - Cluster A

kz(livetune) × 八王子P feat. 初音ミク「Weekender Girl」Music Video Version

【gypsy】 蜜の夜明け Remix 【カットアップ】

a+b=b+a

a+b=b+aを証明します。

定義

a+0=a\\

a+(b+1)=(a+b)+1

補題1

(a+b)+c=a+(b+c)

証明

c=0の時、

(a+b)+0=a+(b+0)=a+b

c=kの時、(a+b)+k=a+(b+k)が成り立つとすると、

\begin{eqnarray}(a+b)+(k+1)&=&( (a+b)+k)+1\\
                   &=&(a+(b+k))+1\\
                   &=&a+( (b+k)+1)\\
                   &=&a+(b+(k+1))\end{eqnarray}

よって、(a+b)+c=a+(b+c)

補題2

a+0=0+a

証明

a=0の時、

0+0=0+0=0

a=kの時、k+0=0+kが成り立つとすると、

\begin{eqnarray}(k+1)+0&=&k+1\\
            &=&(k+0)+1\\
            &=&(0+k)+1\\
            &=&0+(k+1)\end{eqnarray}

よって、a+0=0+a

補題3

a+1=1+a

証明

a=0の時、補題2より成り立つ。
a=kの時、k+1=1+kが成り立つとすると、

\begin{eqnarray}(k+1)+1&=&(1+k)+1\\
&=&1+(k+1)\end{eqnarray}

よって、a+1=1+a

定理

a+b=b+a

証明

b=0の時、

a+0=0+a

b=kの時、a+k=k+aが成り立つとすると、

\begin{eqnarray}a+(k+1)&=&(a+k)+1\\
&=&(k+a)+1\\
&=&k+(a+1)\\
&=&k+(1+a)\\
&=&(k+1)+a\end{eqnarray}

よって、a+b=b+a

近傍の種類

位相空間とはなんでしょうか?
1つの解釈は、近傍の形を決めた空間といえます。
近傍とは、私たちがよく知っている円があります。
しかし、次も近傍です。
f:id:mikuwaorenoyome:20160607073451p:plain
これはノイマン近傍と呼ばれていて、次で定義されます。
|x|+|y|=1
次は、ムーア近傍と呼ばれているものです。
f:id:mikuwaorenoyome:20160607074054p:plain
\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(|x|^n+|y|^n)=1
全体集合も近傍になります。\{0\}も近傍です。
本当は、位相空間はもっと広い意味で使われるのですが、私たちがよく知っているものは、これらが定義されています。

一般に、異なる近傍を決めると、異なる位相になりますが、円とノイマン近傍とムーア近傍は同じ位相空間になります。

Emacsのデフォルトメジャーモードをlisp-interaction-modeにする方法(version 24.5.1)

Emacs-Lispを使っている人にとって、*scratch*バッファのlisp-interaction-modeは重要ですよね。(C-jでS式を評価できたりします)

デフォルトメジャーモードをlisp-interaction-modeにするのは簡単で、init.elに次の一文を加えるだけです。

場所:gnupack_basic-13.06-2015.11.08\home\.emacs.d\init.el

加える文:(setq default-major-mode 'lisp-interaction-mode)

これであなたもELISPERだ!

ある文字列の写像の不動点定理

QとRからなる文字列を考えます。

文字列xとyの結合をxyと書いて、ヌル文字を0とします。
以下の写像を考えます。
f(Qx)=x\\f(Rx)=xx\\f(0)=0
また、xとf(x)を並べて、x \rightarrow f(x)と書きます。
例えば、
QR\rightarrow R\rightarrow 0
RQ\rightarrow QQ\rightarrow Q\rightarrow 0
この時、次の不動点定理が成り立ちます。
\forall x(RxR \rightarrow xRxR)
例えば、x=Qの時、
RQR\rightarrow QRQR
 x=0の時、
RR\rightarrow RR
 

あらゆる言葉が載った辞書

あらゆる言葉が載った辞書を考えます。
一番最初に載っている言葉は何でしょうか?
正解は「あ」です。
次は「ああ」ですね。その次が「あああ」。
何ページかめくると、「あああああ・・・」となってますね。
それを超えると、今度は「あい」になります。
次が「あいあ」。その次が「あいああ」。
以下、「あいあああああ・・・」となってますね。
さらに超えると、次は「い」になります。
以下、「いあ」、「いああ」、「いあああ・・・」、「いあい」、「いあいあ」、「いあいああ」、「いあいあああ・・・」となります。

では、辞書を分けて、「あ」から始まる辞書を「あ巻」とし、最初の「あ」を省略します。
一番最初に載っている言葉は何でしょうか?
元の辞書の「あ」は消えるので、次の「ああ」の「あ」を省略して、「あ」になります。
次は、「あああ」を省略して、「ああ」になります。
以下、「あああ」、「ああああ」、「あああああ・・・」になります。
それを超えたら、次の「あい」を省略して、「い」になります。
以下、「いあ」、「いああ」、「いあああ・・・」となります。
つまり、「あ巻」は、「あ」、「ああ」、「あああ・・・」、「い」、「いあ」、「いああ」、「いあああ・・・」となっています。

ということは、元の辞書とあ巻は同じものになります。
辞書を分けたはずなのに、同じになるのは不思議ですね。