読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

コラッツ予想 Part2

以下、a\equiv b\hspace{5}(mod\hspace{10}x)a\equiv_{x}\hspace{5}b で表します。

x_{n+1}=\left\{D(x_n)=\frac{x_n}{2} \hspace{38} x_n\equiv_2\hspace{5}0\\ C(x_n)=\frac{3x_n+1}{2} \hspace{10} x_n\equiv_2\hspace{5}1 \right.

x_0=m

i 回目の偶奇を a_i=0,1 とおき、 f_{a_i}(m)

f_{a_i}(m)=\left\{D(m) \hspace{10} a_i=0\\ C(m) \hspace{10} a_i=1 \right.

とおけば、

m\equiv_2\hspace{5}a_0\hspace{5}\wedge\hspace{5} f_{a_0}(m)\equiv_2\hspace{5} a_1\hspace{5}\wedge\hspace{5} f_{a_1}\circ f_{a_0}(m)\equiv_2\hspace{5} a_2 \hspace{5}\wedge\hspace{5}\ldots

となります。

この論理積が有限の時は、(私のやり方で)一意にまとめられて、j番目までまとめると、

j
0 m\equiv_2\hspace{5}a_0
1 m\equiv_4\hspace{5}a_0+2a_1
2 m\equiv_8\hspace{5}5a_0+2a_1+4a_2+4a_0a_1
3 m\equiv_{16}\hspace{5}5a_0+10a_1+4a_2+8a_3+4a_0a_1+8a_0a_2+8a_1a_2
4 m\equiv_{32}\hspace{5}21a_0+10a_1+20a_2+8a_3+16a_4+4a_0a_1+8a_0a_2+8a_1a_2
+16a_0a_3+16a_1a_3+16a_2a_3+16a_0a_1a_2
5 m\equiv_{64}\hspace{5}21a_0+42a_1+20a_2+40a_3+16a_4+36a_0a_1+8a_0a_2+8a_1a_2
+16a_0a_3+16a_1a_3+16a_2a_3+16a_0a_1a_2+32a_0a_4+32a_1a_4+32a_2a_4
+32a_3a_4+32a_0a_1a_3+32a_0a_2a_3+32a_1a_2a_3

となっています。

一般化はできていませんが、合同式を無視してj=2,4の右辺のグラフを書くと、

f:id:mikuwaorenoyome:20131004050054p:plain

f:id:mikuwaorenoyome:20131004050059p:plain

ちなみに、前回定義したC(n)のC(n)=C(3n+1)+1をC(n)=C(n+1)+1に変えたものをグラフに書くと、

f:id:mikuwaorenoyome:20131004051630p:plain

どこか似てるような気が・・・