コラッツ予想 Part3

\{C_0=C_1=0\\C_{2n}=C_n\\C_{2n+1}=C_{2n+2}+1}

の母関数

\displaystyle Q(x)=\sum_{k=0}^\infty C_kx^k

を考えます。

以下の議論は、私の無知により多少不正確です。(つまり、母関数を扱ったことはありません)

Q(x)=Q_0(x)+Q_1(x)

\displaystyle Q_0(x)=\sum_{k=0}^\infty C_{2k}x^{2k}

\displaystyle Q_1(x)=\sum_{k=0}^\infty C_{2k+1}x^{2k+1}

と分けると、

\displaystyle Q_0(x)=\sum_{k=0}^\infty C_{k}(x^2)^k}=Q(x^2)

\displaystyle {Q_1(x)=\sum_{k=0}^\infty (C_{2k+2}+1)x^{2k+1} \\ \hspace{43}=\sum_{k=0}^\infty C_{2k+2}x^{2k+1}+\sum_{k=0}^\infty x^{2k+1} \\ \hspace{43} =\frac{Q_0(x)}{x}+\frac{x}{1-x^2} }

また、

\displaystyle {Q_0(x)=\sum_{k=0}^\infty (\frac{(-1)^k+1}{2})C_kx^{k} \\ \hspace{43} =\frac{1}{2}(\sum_{k=0}^\infty (-1)^kC_kx^{k}+\sum_{k=0}^\infty C_{k}x^{k}) \\ \hspace{43} =\frac{Q(x)+Q(-x)}{2} }

になります。Q1を無視すれば、

Q(x^2)=\frac{Q(x)+Q(-x)}{2}

単純に、Q(x)=\log f(x)と思いましたが、

(f(x^2))^2=f(x)f(-x)になり、私には力不足のようです。