ある文字列の写像の不動点定理

QとRからなる文字列を考えます。

文字列xとyの結合をxyと書いて、ヌル文字を0とします。
以下の写像を考えます。
f(Qx)=x\\f(Rx)=xx\\f(0)=0
また、xとf(x)を並べて、x \rightarrow f(x)と書きます。
例えば、
QR\rightarrow R\rightarrow 0
RQ\rightarrow QQ\rightarrow Q\rightarrow 0
この時、次の不動点定理が成り立ちます。
\forall x(RxR \rightarrow xRxR)
例えば、x=Qの時、
RQR\rightarrow QRQR
 x=0の時、
RR\rightarrow RR