e^(1/e) - 人生の役に立たない数学

$\large z_0=e^\frac{1}{e}+\epsilon$
$\epsilon>0$
$\large z_n=z_0^{z_{n-1}}$
のとき、
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}z_n=\alpha$
ならば、
$\large \alpha=(e^\frac{1}{e}+\epsilon)^\alpha$
$\large \alpha^\frac{1}{\alpha}=e^\frac{1}{e}+\epsilon$
左辺の最大値は、 $\large e^\frac{1}{e}$ なので矛盾。
$\epsilon=0$ のとき、
$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}z_n=e$