コラッツ予想 Part3

C_0=C_1=0\\C_{2n}=C_n\\C_{2n+1}=C_{2n+2}+1
の母関数
\displaystyle Q(x)=\sum_{k=0}^\infty C_kx^k
を考えます。
以下の議論は、私の無知により多少不正確です。（つまり、母関数を扱ったことはありません）
Q(x)=Q_0(x)+Q_1(x)
\displaystyle Q_0(x)=\sum_{k=0}^\infty C_{2k}x^{2k}
\displaystyle Q_1(x)=\sum_{k=0}^\infty C_{2k+1}x^{2k+1}
と分けると、
\displaystyle Q_0(x)=\sum_{k=0}^\infty C_{k}(x^2)^k=Q(x^2)
\displaystyle\begin{eqnarray}Q_1(x)&=&\sum_{k=0}^\infty (C_{2k+2}+1)x^{2k+1} \\ &=&\sum_{k=0}^\infty C_{2k+2}x^{2k+1}+\sum_{k=0}^\infty x^{2k+1} \\&=&\frac{Q_0(x)}{x}+\frac{x}{1-x^2} \end{eqnarray}
また、
\displaystyle \begin{eqnarray} Q_0(x)&=&\sum_{k=0}^\infty (\frac{(-1)^k+1}{2})C_kx^{k} \\ &=&\frac{1}{2}(\sum_{k=0}^\infty (-1)^kC_kx^{k}+\sum_{k=0}^\infty C_{k}x^{k}) \\ &=&\frac{Q(x)+Q(-x)}{2} \end{eqnarray}
になります。Q1を無視すれば、
Q(x^2)=\frac{Q(x)+Q(-x)}{2}
単純に、Q(x)=\log f(x)とあ思いましたが、
(f(x^2))^2=f(x)f(-x)になり、私には力不足のようです。