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a+b=b+a

a+b=b+aを証明します。

定義

a+0=a\\

a+(b+1)=(a+b)+1

補題1

(a+b)+c=a+(b+c)

証明

c=0の時、

(a+b)+0=a+(b+0)=a+b

c=kの時、(a+b)+k=a+(b+k)が成り立つとすると、

\begin{eqnarray}(a+b)+(k+1)&=&( (a+b)+k)+1\\
                   &=&(a+(b+k))+1\\
                   &=&a+( (b+k)+1)\\
                   &=&a+(b+(k+1))\end{eqnarray}

よって、(a+b)+c=a+(b+c)

補題2

a+0=0+a

証明

a=0の時、

0+0=0+0=0

a=kの時、k+0=0+kが成り立つとすると、

\begin{eqnarray}(k+1)+0&=&k+1\\
            &=&(k+0)+1\\
            &=&(0+k)+1\\
            &=&0+(k+1)\end{eqnarray}

よって、a+0=0+a

補題3

a+1=1+a

証明

a=0の時、補題2より成り立つ。
a=kの時、k+1=1+kが成り立つとすると、

\begin{eqnarray}(k+1)+1&=&(1+k)+1\\
&=&1+(k+1)\end{eqnarray}

よって、a+1=1+a

定理

a+b=b+a

証明

b=0の時、

a+0=0+a

b=kの時、a+k=k+aが成り立つとすると、

\begin{eqnarray}a+(k+1)&=&(a+k)+1\\
&=&(k+a)+1\\
&=&k+(a+1)\\
&=&k+(1+a)\\
&=&(k+1)+a\end{eqnarray}

よって、a+b=b+a