a+b=b+a

数学

a+b=b+aを証明します。

定義

a+0=a\\ a+(b+1)=(a+b)+1

補題1

(a+b)+c=a+(b+c)

証明

c=0の時、

(a+b)+0=a+(b+0)=a+b

c=kの時、(a+b)+k=a+(b+k)が成り立つとすると、

\begin{eqnarray}(a+b)+(k+1)&=&( (a+b)+k)+1\\ &=&(a+(b+k))+1\\ &=&a+( (b+k)+1)\\ &=&a+(b+(k+1))\end{eqnarray}

よって、(a+b)+c=a+(b+c)

補題2

a+0=0+a

証明

a=0の時、

0+0=0+0=0

a=kの時、k+0=0+kが成り立つとすると、

\begin{eqnarray}(k+1)+0&=&k+1\\ &=&(k+0)+1\\ &=&(0+k)+1\\ &=&0+(k+1)\end{eqnarray}

よって、a+0=0+a

補題3

a+1=1+a

証明

a=0の時、補題2より成り立つ。
a=kの時、k+1=1+kが成り立つとすると、

\begin{eqnarray}(k+1)+1&=&(1+k)+1\\ &=&1+(k+1)\end{eqnarray}

よって、a+1=1+a

定理

a+b=b+a

証明

b=0の時、

a+0=0+a

b=kの時、a+k=k+aが成り立つとすると、

\begin{eqnarray}a+(k+1)&=&(a+k)+1\\ &=&(k+a)+1\\ &=&k+(a+1)\\ &=&k+(1+a)\\ &=&(k+1)+a\end{eqnarray}

よって、a+b=b+a