人生の役に立たない数学

総和数列

数学

$a_0=0\\a_n=n+\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a_k$
Snを定義する。
$S_n:=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k$
$S_n=a_n+S_{n-1}$
$a_n=n+S_{n-1}$
$S_n=n+2S_{n-1}$
$S_n+n=2n+2S_{n-1}$
$S_n+n=2(S_{n-1}+n)$
$S_n+n=2(S_{n-1}+n-1)+2$
Tnを定義する。
$T_n:=S_n+n$
$T_n=2T_{n-1}+2$
$T_n+2=2(T_{n-1}+2)$
$T_n+2=2^n(T_0+2)$
$T_0=S_0=a_0=0$
$T_n=2^{n+1}-2$
$S_n=T_n-n=2^{n+1}-n-2$
$a_n=n+S_{n-1}=n+2^n-(n-1)-2$
よって
$a_n=2^n-1$